(资料图片仅供参考)

1、证明过程如下：设f(x)=e^(x-1)– x，f’(x)=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1)。

2、f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。

3、f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0所以e^(x-1) ≥ x设xi>0，i=1，n。

4、算术平均值为a=(x1+x2+x3+…+xn)/n，a>0。

5、x/a ≤ e^(x/a-1)(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a ) ≤ e^(x1/a-1) e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)… e^(xn/a-1)=e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]=e^[na/a-n]=e^0=1所以(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n ≤ 1即(x1*x2*x3*…*xn) ≤ a^n(x1*x2*x3*…*xn)^(1/n) ≤ a ,即算术平均数大于等于几何平均数。

6、扩展资料：关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。

7、）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

8、注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

9、参考资料来源：百度百科-均值不等式。

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